másodrendű differenciálegyenletek, ingyenes távú papírokat, esszék és disszertációk

ahol - független változó - a kívánt funkciót, az első és a második deriváltak.

Cauchy-tétel a létezése és egyedisége oldatok másodrendű differenciálegyenlet. Hagyja, hogy a funkció és a parciális deriváltak folytonosak néhány régióban a tér változó. Ezután minden belső pontja régióban van egy egyedülálló megoldás kielégíti a feltételeket.

Feltételek nevezzük kezdeti feltételek. és a feladat, hogy megoldást találjanak az egyenlet a forgatáson ...
A kezdeti feltételek nevezzük Cauchy probléma.

Példa. Találjanak megoldást Cauchy probléma.

Megoldás: Keressük az általános megoldás:

Mi használjuk a kezdeti feltételek és megtalálni egy adott megoldás:

Válasz: - A megoldás a Cauchy probléma.

A típusú másodrendű differenciálegyenletek:

1. egyenlet lehetővé csökkentése érdekében. Háromféle:

A). Az alkalmazott oldatok csere :. akkor. a.

B). Ebben az esetben a változás formájában :. akkor. a.

B). Csere :. Aztán. és az általános megoldás felírható :.

Példa. Megoldást találjanak az egyenletet.

Megoldás: Ebben az ügyben. ezért használjuk a helyettesítés és szerezzen egy egyenletet elkülöníthető változók

Végrehajtsa az inverz változás:

2. Egy lineáris másodrendű differenciálegyenlet - az egyenlet formájában :. ahol - a kívánt funkció, - ismert folytonos függvény időközönként. Ha. Az egyenlet az úgynevezett homogén lineáris differenciálegyenlet. Ha. A lineáris inhomogén differenciálegyenlet.

A) Tekintsünk egy homogén lineáris másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatós. . ahol - a valós számokat.

Lineáris másodrendű differenciálegyenlet két alapvető megoldásokat, amelyekre az általános megoldás épül. Megoldások és egyenletek nevezzük lineárisan függetlenek. ha a lineáris kombináció nullával egyenlő. Csak mikor.

Tétel. Hagyja, hogy a megoldások és az egyenletek lineárisan függetlenek az intervallumon. Ezután a funkciót. és ahol - az önkényes állandók, az általános megoldás a homogén egyenlet.

Az egyenlet megoldása kell törekedni formájában. ahol - néhány számot. Azt hogy ezt a funkciót az egyenlet és kap. Azt ossza mindkét oldalán, és neki is - az egyenlet az úgynevezett karakterisztikus egyenlete differenciálegyenlet.

Az általános megoldás attól függ, milyen gyökerek és van egy karakterisztikus egyenlet.

Tétel. Ha a gyökerek a karakterisztikus egyenlet:

· Valós és más, azaz . majd az általános megoldás a homogén differenciálegyenlet.

· Valós és egyenlő egymással, azaz . majd az általános megoldás a homogén differenciálegyenlet.

· Complex. hol. és és - a valós számok, akkor az általános megoldás a homogén differenciálegyenlet. hol.

Mindhárom esetben - tetszőleges állandók.

Példa. Keressen egy közös megoldás: a); b); c).

a) A karakterisztikus egyenlet formában van :. Két különböző valós gyöke. ezért.

b) A karakterisztikus egyenlet :. Két igazi gyökereit, egyenlő egymással. akkor az általános megoldás.

c) A karakterisztikus egyenlet :. Ebben az esetben mi összetett gyökereit. ezért.

B) egy második rendű, nem-homogén egyenlet - ez a fajta egyenlet.

Az általános megoldás az inhomogén másodrendű differenciálegyenlet az összege az általános megoldás a megfelelő homogén differenciálegyenlet, és egy adott oldatban az inhomogén differenciálegyenlet. azaz .

Tekintse meg a partikuláris megoldás függ a funkciótól és a karakterisztikus egyenlet:

· Ha. ahol - polinom foka. Aztán. ahol - polinom foka általános módon, és

· Ha. ahol - adott valós számok. Aztán. ahol - ismeretlen számokat is.

Példa. Megoldást találjanak az egyenletet.

Megoldás: megtalálni az általános megoldás a megfelelő homogén egyenlet. amely formájában :.

Arra törekszünk, egy adott oldat formájában. akkor. . Helyettesítsük be az eredeti egyenletet:

Következésképpen ,. és az általános megoldás.

Példa. Találjanak megoldást Cauchy probléma:

Megoldás: megtalálni az általános megoldás a megfelelő homogén egyenlet. amely formájában :.

Arra törekszünk, egy adott oldat formájában. akkor. . Helyettesítsük be az eredeti egyenlet :. azaz .

Az általános egyenlet megoldása formájában kapjuk :.

Találunk állandó értéket a megadott kezdeti feltételeket: