Lineáris heterogén sor másodrendű
A módszer a meghatározatlan együtthatók
Ha a jobb oldalon a inhomogén differenciálegyenlet (1) egy polinomiális, exponenciális vagy trigonometrikus függvény (vagy e funkciók kombinációja):
akkor a megoldás sokkal kényelmesebb keresni módszerrel meghatározatlan együtthatók.
Mindkét esetben, a forma az adott megoldás megfelel a szerkezet a jobb oldalán az eredeti, nem-homogén differenciálegyenlet.
1) Ha a jobb oldalon (1) egyenlet formájában van (7), majd az adott oldatot talált formájában:
ahol - a polinom foka n ismeretlen együtthatók és s = 0, ha ez nem egy gyökér a karakterisztikus polinom, vagy sokasága s, ahol - a gyökér a karakterisztikus polinom.
2) Ha a jobb oldalon az (1) egyenlet formájában van (8), egy adott megoldást kell törekedni a következőképpen:
Itt - polinomokként k meghatározatlan együtthatók és s = 0 (nem gyökér a karakterisztikus polinom) vagy multiplicitás s - a gyökér a karakterisztikus polinom.
Ismeretlen polinom együtthatók meghatározására helyettesítve a kifejezések az adott megoldásokat a kiindulási inhomogén differenciálegyenlet (1).
(Szuperpozíció elve). Ha a jobb oldalon inhomogén differenciálegyenlet másodrendű (1) az összege több funkció a forma (7), (8), majd az adott oldatot ennek az egyenletnek is összege az részmegoldások épített külön-külön minden távon a jobb oldalon.
Keresse az általános egyenlet megoldása
Tekintsük a homogén egyenletet:
A megfelelő karakterisztikus egyenlet
Találunk a megoldás:
Ez a megoldás a homogén egyenlet
A partikuláris megoldása az eredeti inhomogén egyenlet fognak törekedni, hogy milyen típusú a jobb oldali. Átírása ez a funkció a következő:
Azaz, a jobb oldalon az inhomogén egyenlet formájában (8). Ezután egy adott megoldást, szerint (10), talált formájában:
Találni az ismeretlen együtthatók D helyett a konkrét megoldást az eredeti egyenletet. Erre találunk az első és második deriváltja a következő:
Mi helyettesítheti a kifejezések kapott a kezdeti differenciálegyenlet. Ennek eredményeként az egyszerűsítés van:
Vágjuk a bal és jobb oldalán az utolsó egyenlőség:
Így, az általános megoldás a kezdeti nem-homogén egyenlet
Először is megtalálja a megoldást a megfelelő homogén egyenlet. jellegzetes
A jobb oldalon a kezdeti inhomogén egyenlet képviseli az összeg két funkciója van. Ezután szerint a szuperpozíció elve, egy adott megoldás az adott egyenlet összegével egyenlő egyedi megoldásokat megfelelő minden egyes ilyen funkciók:
Az első részleges megoldás
Behelyettesítve azt az eredeti egyenlet, hogy megtalálják-származékok, az első és másodrendű:
Ezután a egyenlet:
Ahhoz, hogy megtalálja az ismeretlen együtthatók használjuk arra, hogy a két polinom megegyezik, ha egyenlő együtthatók a megfelelő hatáskörrel. Az eredmény egy olyan rendszer:
megfelel egy adott megoldást a következő szerkezetű:
Helyettesítsük be az eredeti egyenletet:
Így a kiindulási oldatot az inhomogén differenciálegyenlet